اگر باشد معادلات فرد هولم و ولترا به معادلات همگن تبدیل میشوند. اثبات می شود که معادلات فردهولم و ولترا تا زمانی که توان داخل انتگرال برابر ۱ است یک تابع خطی هستند[۳].
۳- ۲- توابع گرین[۲۳]
برای بدست آوردن جواب یک معادله انتگرالی با بهره گرفتن از معادلات دیفرانسیل جزئی ، یک تابع کمکی بنام تابع گرین برای آن مسئله تعریف می شود. تابع گرین یک تابع کرنل است که از حل مسئله در شرایط مرزی بدست می آید و ارتباط دقیقی بین فرمولهای انتگرالی و دیفرانسیلی برقرار می کند. تابع گرین روشی را برای بدست آوردن مجهولات مسئله در ترمهایی از معادلات دیفرانسیل جزئی میسر می کند.
به عبارت دیگر، تابع گرین امکان حل مسائل مقدار مرزی ناهمگن را با تبدیل آنها به مسائل همگن، با بهره گرفتن از روش بسط سری ممکن میسازد.
برای بدست آوردن میدان ناشی از یک منبع، باید اثر هر نقطه از منبع را بدست آید و اثرات آنها با هم جمع شود. اگر میدان در نقطهی مشاهده ، ناشی از منبع نقطهای واقع در باشد، میدان کل در نقطه ناشی از منبع برابر با انتگرال نسبت به میباشد، در بازهای که منبع روی آن گسترده شده است. بنابراین تعبیر فیزیکی تابع گرین بیان پتانسیل در نقطهی ناشی از بار نقطهای واحد، واقع در نقطهی است.
برای مثال حل معادله دیفرانسیل روی منطقه ، و با شرط روی سطح ، به صورت زیر است[۳]و [۸]:
(۳-۳)
که بردار عمود بر سطح به سمت بیرون ناحیهی است و تابع گرین مسئله است.
معادله دیفرانسیلی جزئی درجه دوم زیر را در نظر بگیرید[۳]و [۸]:
(۳-۴)
برای معادله (۳-۴) تابع گرین به صورت زیر تعریف می شود[۳]و [۸]:
(۳-۵)
به طوریکه نقطه مشاهده میدان و محل قرار گفتن منبع نقطهای و تابع دلتای دیراک را بیان می کند.
از معادله (۳-۵) چنین بر می آید که تابع گرین را میتوان از حل مساله با شرایط مرزی داده شده در جایی که با جایگذاری شده است بدست آورد. بنابراین تابع گرین پاسخ سیستم به تابع ضربه در نقطه است.
۳-۲-۱-خصوصیات تابع گرین
الف- تابع گرین معادله را در هر نقطه بجز در نقطه برآورده می کند[۳]:
(۳-۶)
ب- تابع گرین متقارن است، (اصل همپاسخی[۲۴])[۳]:
(۳-۷)
ج- مقادیر مرزی روی را برآورده می کند یعنی روی سطح [۳]:
