1. 1. برای همه مقادیر وجود دارد و، به طور یکنواخت برای ،

      (( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

      است.

1. 1. برای همه مقادیر ، و است.

1. 1. برای همه مقادیر و ، ایستا در عبورهای از سطح است، به این معنی که
      است. را نرخ عبور از سطح در تاخیر می نامند که به مقدار نیز وابسته است.

1. 1. یک فرایند -وابسته و یا یک فرایند خطی به فرم باشد، که در آن دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع با است و دنباله ای معین و به طور مطلق جمع­پذیر است به طوری که، زمانی که به سمت بی­نهایت میل می­ کند، برای برخی مقادیر ثابت ، در رابطه صدق می­ کند.

برای درک بهتر شرط (ii) و (iii) فرایند عبور ازسطح را در نظر بگیرید. با بهره گرفتن از شرط (ii) خواهیم داشت = است. همچنین، با توجه به شرط (ii) و (iii)، را می­توان به صورت زیر نوشت:
=
=
و در نتیجه:
.
بنابراین، تحت شرط (ii) و (iii) فرایند عبور از سطح ایستای ضعیف با میانگین و تابع اتوکوواریانس خواهد بود.
دنباله را در دامنه فرکانس و با بهره گرفتن از تبدیل فوریه می­توان به صورت زیر نمایش داد:
که در آن، عبارت دوم از تقارن نتیجه شده است، به این معنی که، برای تمام مقادیر، است، تبدیل فوریه را طیف عبور از سطح فرایند می­نامیم. توجه کنید که این عبارت چیزی بجز طیف توان فرایند عبور از سطح استاندارد شده نیست که تابع اتوکوواریانس آن برابر با است. به سادگی می­توان مشاهده کرد که دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با چندک -ام ، در عبور از سطح ، ایستا با
هستند که در این حالت، برای تمام مقادیر ، است. به طور کلی، طیف عبور از سطح به عنوان نمایش دامنه فرکانس وابستگی­های پیاپی زمانی که یک پایایی مقیاس به عنوان نمایشی از دامنه فرکانس در وابستگی های پیاپی از یک جنبه متفاوت از طیف همبستگی عادی (یا طیف توان نرمال شده) تعریف شده باشد به کار می رود. به طوری که
که در آن تابع خود همبستگی از تحت فرض ایستا در گشتاورهای دوم است.
با توجه به این مفاهیم، قضیه زیر را می­توان بیان کرد:
قضیه ۳-۱
فرض کنید در شرایط (i) تا (iv) صدق کند و، فرض کنید و با بهره گرفتن از روابط (۳-۴) و (۳-۵) و یا روابط (۳-۴) و (۳-۷) تعریف شده باشند. همچنین، را متناهی و به دور از صفر کران دار در نظر بگیرید. آنگاه، زمانی که به سمت بی نهایت میل کند، به صورت مجانبی دارای توزیع و نیز به طور مجانبی دارای توزیع است. دنباله­های و شامل متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با توزیع کای اسکور مرکزی با دو درجه آزادی، ، است و در آن و ثابت­های مقیاس­بندی هستند.
قضیه ۳-۱ نشان می­دهد که دوره­نگار­های چندکی دارای توزیع کای­اسکور مقیاسی با دو درجه آزادی هستند و، از نظر توزیع، رفتاری مشابه با رفتار دوره­نگارهای عادی را نشان می­دهد، Brockwell and Davis] (1991)[. تنها تفاوت توزیع مجانبی در این دوحالت، تفاوت در تابع مقیاس^[۴۵] است. برای دوره­نگار عادی، تابع مقیاس طیف توان است که در آن واریانس و طیف خود همبسته از است. بر اساس قضیه ۳-۱، تابع مقیاس در ارتباط با دوره نگار چندکی نوع یک توسط رابطه زیر بدست می ­آید :

۳-۱۱

و تابع مقیاس در ارتباط با دوره نگار چندک نوع دو به صورت زیر است:

۳-۱۲

توابع و را به ترتیب طیف چندکی نوع یک و دو (طیف چندکی I وII) می­نامیم. هر دو طیف چندکی متناسب با طیف عبور از سطح هستند. تنها تفاوت این دو طیف در مقدار عامل و است که نقشی مشابه با در طیف توان را بازی می کنند. مشاهده می­کنید که و از این رو رابطه زیر را خواهیم داشت:

۳-۱۳

این رابطه بدین معنی است که، در صورتی که باشد، طیف چندکی نوع دو دارای مقدار کمتری نسبت به طیف چندک نوع یک است.