٣. الگوی پراکندگی که در آشکارساز ثبت می­گردد، مجموع الگوهای پراکندگی است که توسط هر ذره در اثر برهمکنش با نور برخوردی حاصل می­ شود.
به منظور توضیح پراکندگی نور از ذرات کروی، مدل­های اپتیکی مورد نیاز هستند. راه حل پراکندگی نور توسط ذرات کروی با اندازه­ های مختلف بر اساس تقسیم ­بندی زیر است:
زمانی که قطر ذره از طول موج برخوردی بسیار بزرگتر (d>>λ) باشد، در این حالت از مدل فرانهوفر^[۶] استفاده می­ شود.
زمانی که قطر ذره قابل مقایسه با طول موج برخوردی باشد، از مدل میه^[۷] استفاده می­ شود.
زمانی که قطر ذره از طول موج برخوردی بسیار کوچک­تر (λd<<) باشد، در این حالت از مدل ریلی^[۸] استفاده می­ شود.
در مدل ریلی قطر ذرات حدود ۱/۰ طول موج است. مدل فرانهوفر زمانی است که اندازه ذرات حدود ۶-۵ برابر از طول موج نور برخوردی بزرگ­تر باشند.
۱-٢- پراکندگی غیر نسبیتی
تئوری پراکندگی : با بهره گرفتن از معادله شرودینگر و با در دست داشتن پتانسیل (x) در هامیلتونی مربوطه H، می­توان پراکندگی یک ذره را توصیف نمود :
که در آن _۰H عملگر انرژی مربوط به ذرات آزاد است :
بطوریکه و به ترتیب اندازه حرکت و جرم ذره است. در نبود پتانسیل (x)Vراه حل هامیلتونی را می­توان بعنوان حالت ذرات آزاد بصورت زیر نوشت :
این حالت انرژی ذرات آزاد را می­توان بعنوان تابع موج بصورت <Ф| در نظر گرفت.
معادله شرودینگر کامل بصورت زیر است :
حالت انرژی H در تعریف حد که در آن پتانسیل از بین می­رود. ( O→) باید داشته باشیم ، که در آن <Ф|­ و <Ψ| حالت هایی با انرژی یکسان هستند.
راه حل ممکن عبارت است از :
با ضرب ( _۰H – E) می­توان نشان داد که با تعاریف مطابقت دارد. با این حال مشکل از عملگر است.
رفتار منحصر به فرد در رابطه (۱-۵) را می­توان با در دست داشتن ، کمی پیچیده ثابت کرد:
این معادله لیپمن ­_ شرودینگر^[۹] است که باید تحلیل شود.
١–۲-١- دامنه پراکندگی
برای محاسبه دامنه پراکندگی باید از پرتوهای دریافتی (تقریبا) حالت انرژی حرکت استفاده نماییم که در آن V تابع موقعیت است. اگر ویژه حالت برای یک ذره ساکن باشد، پس تابع را می­توان بصورت زیر نوشت :

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

با ضرب درمعادله (١-۶) و استفاده از عملگر یکه داریم ( ) خواهیم داشت :
راه حلی برای تابع تعریف شده از طریق تابع گرین وجود دارد :
بطوری که
با بهره گرفتن از این نتیجه می­توان دید که دامنه بصورت زیر به دست می ­آید :
با فرض آنکه پتانسیل مشترک به این معنا که می­توان آن را به عنوان داخلی پنداشت، بدین صورت نوشته شده است :
تابع موج (١-١۲) مجموع دو جمله است. اولین جمله معرف صفحه ورودی است وابستگی فضایی جمله دوم بصورت است. هم اکنون می­توان با درک معنای فیزیکی ، خروجی امواج کروی (+) و ورودی (-) را در نظر گرفت. ما در خروجی علاقه­مند به امواج کروی (+) و آنهایی که از پتانسیل پراکنده شده ­اند، هستیم و می­خواهیم بدانیم که دامنه موج خروجی در نقطه مطابق شکل (١-١) برای آشکارسازی خیلی دور از مرکز پراکندگی به چه صورت در می ­آید، بنابراین ممکن است فرض کنیم.
تعریف بردار واحد در جهت نقطه مشاهده با توجه به شکل(١-۲) بصورت زیر می­باشد :

شکل ۱-٢- مختصات برداری و .
و همچنین بردار موج ذرات متحرک در جهت x مشاهده­گر است :
در فواصل دور از مرکز پراکندگی داریم :
که در آن α زاویه بین و است.
با بهره گرفتن از این روابط و جایگزینی آنها در معادله (۱-۱۲) و برای فواصل خیلی دور (r بزرگ) خواهیم داشت :
که می­توان نوشت ،
این نشان می­دهد که امواج ورودی و خروجی بصورت موج کروی با دامنه پراکندگی بدست می ­آید
می­توان سطح مقطع پراکندگی در واحد زوایای فضایی و زمان را بر حسب این شارهای فرودی و خروجی تعیین نمود:
دیفرانسیل سطح مقطع برخورد در المان زاویه فضایی بصورت در می ­آید :
در حقیقت سطح مقطع دیفرانسیلی با مربع دامنه پراکندگی برابر است.
١–۲-۲– تقریب بورن
اگر پتانسیل V ضعیف باشد می­توان فرض نمود که تنها با اندکی تغییر حالت انرژی پتانسیل، می­توان را در معادله (۱-۱۹) به جای جایگزین نمود .
بطوریکه بردار موج در فضای مومنتم است. این به عنوان تقریب بورن شناخته شده است. به ازای این تقریب می­توان نتیجه گرفت
این نشان­دهنده این است که دامنه پراکندگی با پتانسیل مختل کننده V بین حالت­ها متناسب است.
با بسط معادله (۱-٢۲) و وارد کردن رابطه یکانی خواهیم داشت:
این نتیجه به ما می­گوید که دامنه پراکندگی متناسب با تبدیل فوریه پتانسیل است. حال می­توان dσ/dΩ را بوسیله پراکندگی ذرات اندازه گیری کنیم. برای اطلاع بیشتر به مرجع [۱] مراجعه شود.
۱-٣- انواع روش­های تشخیصی با پدیده پراکندگی
۱-٣-۱– پراکندگی ریلی^[۱۰]
پراکندگی ریلی، مربوط به پراکندگی نور در تمام جهت­ها به وسیله مولکول­های هواست و انرژی فوتون­های پراکنده شده در پراکندگی ریلی ثابت و بدین­سان یک پراکندگی کشسان می­باشد. به دلیل اینکه دامنه گشتاور دو قطبی الکتریکی با قطبش ذرات و شدت نور تابشی I رابطه دارد، شدت نور پراکنده شده I_r از فرمول زیر بدست می ­آید:
که در آن α قطبش پذیری، زاویه پراکندگی، λ طول موج و r فاصله نقطه مشاهده است.این نوع پراکندگی به علت برانگیختگی بعضی از مدهای ارتعاشی مولکول­هاست. رابطه­ (۱-٢۴) نشان می­دهد که مقدار پراکندگی ریلی با توان چهارم طول موج نسبت عکس دارد، همان­طور که در شکل (١-٣) ملاحظه می­ شود، در پراکندگی نور سفید، طول موج­های کوتاه­تر مانند آبی (با طول موج تقریبی nm۴۰۰) تقریبا ۹ برابر نور قرمز (با طول موج تقریبی nm۷۰۰ ) در آسمان پراکنده می­ شود.