روش های رانگ کوتا بر مبنای یک فرمول­بندی مشخص هستند که در این فرمول­بندی ها ضرایب مجهول وجود دارد. با نوشتن و استفاده از بسط سری تیلور می توان بین مجهولات روابطی یافت ولی چون معمولا تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر است باید برخی از مقادیر فرض شود و بقیه ضرایب بدست آید. بر مبنای این روش، معادله دیفرانسیل مرتبه اول (۴-۱۹) به صورت زیر حل می شود:

(۴-۲۷)

در تحقیق حاضر به دلیل وجود شرط مرزی در بینهایت، روش پرتابی مورد استفاده قرار گرفته است که روش مناسبی برای حل معادلات دیفرانسیل با شرایط سر حدی می باشد. این روش از مسئله شلیک یک گلوله برای برخورد به یک هدف سرچشمه می­گیرد. در این نوع مسائل اولین قدم حدس یک شیب مناسب در ابتدای حوزه و شلیک یک گلوله تحت این شیب است اگر گلوله از بالای هدف عبور کند شیب کمتری را برای شلیک دوم انتخاب می­کنیم و بدین ترتیب با کم و زیاد کردن شیب سرانجام به هدف خواهیم رسید.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر را به همراه شرایط مرزی آن در نظر می گیریم:

(۴-۲۸)

ابتدا از معادله ی مرتبه دوم، دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را تشکیل می دهیم:

(۴-۲۹)
(۴-۳۰)

توابع wوy دو تابع مجهول هستند. برای حل این دو معادله، به روش های معمول باید از یک نقطه شروع کنیم (مثلا از نقطه ی x=a ) بنابراین برای دو معادله ی (۴-۲۹) و (۴-۳۰) احتیاج به دو شرط اولیه داریم. هنگامی که فقط یک شرط در نقطه ی x=a ارائه شده است و شرط دیگر در انتهای بازه یعنی x=b در اختیار است، لازم است یک شرط اولیه در یکی از مرزها فرض شود و حل مساله از آن مرز شروع شود. در اینجا معلوم است، ولی معلوم نیست. بنابراین از روش آزمون و خطا استفاده می شود و با حدس تابع مجهول، حل دستگاه شروع می شود تا به مرز نهایی (x=b ) برسیم، در آنجا جواب محاسبه شده با مقدار واقعی تابع مقایسه می شود، در صورت تساوی پاسخ ها، حل کامل شده است و در غیر این صورت، با حدس جدیدی حل مساله تکرار می شود.
۴-۲-۱-الگوریتم روش پرتابی
۱- مرحله ی حدس: فرض می شود مقداری معادل با دارد: منظور از ، حدس مشتق تابع y در نقطه ی a است، مقدار حدس و n مرحله حدس می باشد.
۲- مرحله ی حل معادله ها: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حاصل با یکی از روش های معرفی شده قبل، به صورت تک مرحله ای یا چند مرحله ای حل می شوند. تا وقتی که مقدار تابع و مشتق تابع در مرز انتهایی بدست آید.

(۴-۳۱)

درسیستم معادله های بالا و تابع های مربوط به مشتق های تابع yوw هستند که بر حسب روش های اولر، رانگ کوتاو غیره دارای شکل های مختلفی هستند.
۳- مقایسه تابع واقعی و محاسبه ای در مرز انتهایی: تابع محاسبه شده در ، بر اساس حدس اولیه را به صورت نشان می دهیم که باید با مقدار واقعی مقایسه شود و در صورتی که اختلاف آنها ناچیز باشد، یعنی رابطه برقرار باشد مسئله حل شده است.
۴- مرحله ی حس جدید: در صورتی که نامساوی بالا برقرار نباشد، باید حدس دیگری برای انجام شود که به آن حدس مرحله بعدی یا n+1 ام می گویند.( فقط برای دو مرحله ی اول و دوم کاربر حدس می زند پس از آن یک روش مناسب برای اصلاح حدس استفاده می شود):
۵- مرحله ی تکرار محاسبات: مراحل ۲ تا ۴ دوباره تکرار می شوند.
۶- مرحله ی اصلاح حدس: برای مرحله ی معمولا لازم است حدس جدید به کمک رابطی اصلاح شود تا به جواب ها سریعتر همگرا شوند . در ادامه روش های اصلاح حدس بیان می شوند .
۴-۲-۲- روش های اصلاح حدس
از محدودیت های روش پرتابی این است که این روش، تابع حدس اولیه است و چنانچه معادله غیر خطی باشد و دید فیزیکی درستی از رفتار تابع وجود نداشته باشد، حدس های اولیه نامناسب باعث افزایش خطا و واگرا شدن جواب ها می شوند، به این دلیل روش های مختلفی برای اصلاح حدس های اولیه مورد استفاده قرار می گیرند. در ادامه دو روش برای اصلاح حدس معرفی می شود:
الف- روش درون یابی خطی
ب- روش نیوتن
روش اول معمولا برای معادلات دیفرانسیل خطی به کار می رود. اگر چه برای معادلات دیفرانسیل غیر خطی نیز در صورتی که شدت غیر خطی بودن معادله زیاد نباشد، با بهره گرفتن از همین روش وانتخاب حدس های اولیه مناسب جواب ها همگرا می شوند. ولی در موارد دیگری مانند مسائل لایه ی مرزی معمولاً نمی توان با این روش، همگرایی را تضمین کرد. در این موارد از روش نیوتن که روش مطمئن تری در اصلاح حدس برای معادله دیفرانسیل غیر خطی است، استفاده می شود.
۴-۲-۲-۱- اصلاح حدس بر اساس روش درون یابی خطی
در این روش، حدس اول و دوم توسط کاربر انجام می شود ولی برای حدس سوم و حدس های بعدی، از معادله درون یابی خطی استفاده می شود.به این ترتیب که جواب های حاصل بر اساس دو حدس اول و دوم در مرز بعدی محاسبه شده و حدس سوم، برای رسیدن به جواب واقعی، بر اساس یک معادله درون یابی خطی بدست می آید.
اصلاح حدس سوم به بعد مطابق معادله ی (۴-۲۸) از رابطه درون یابی خطی زیر بدست می آید: