کهn_dچگالی عددی ذره غبار در بیرون و داخل ابر یکسان است یعنی:

معادلات (۲-۲) و (۲-۳) را در معادله (۲-۴) جایگزین کرده و فرض می­کنیم که eφ_s/k_BT_e<<1 و
eφ_s/k_BT_e<<1 در نتیجه داریم:
(۲-۵)
به طوری که^۲_De= K_BT_e/4πn_e0e²λ و^۲_Di= K_BT_e/4πn_i0e²λبهترتیب شعاع دبای الکترون و یون است.فرض می­کنیم جواب معادله­ (۲-۵) به صورت _s=_s0exp(-r/_D) باشد. از معادله (۲-۵) شعاع دبای پلاسمای غبارآلود به دست می ­آید:
(۲-۶)
که در آن _D اندازه­ای از فاصله­ی حفاظ یا ضخامت غلاف را به ما می­دهد. در پلاسای غبارآلود با دانه­ های غبار که به طور منفی باردار شده ­اند، داریم n_e0<< n_i0 و T_e>>T_i یعنی _De>>_Di.از این رو داریم . به این معنی که فاصله حفاظ یا ضخامت غلاف در پلاسمای غبارآلود اساساً با دما و چگالی یون تعیین می­ شود. وقتی ذرات غبار به طور مثبت باردار می­شوندواکثر یون­ها به سطح دانه­ی غبار پیوست شده یعنی ، داریم و این متناظر با . به این معنی که در پلاسمای غبارآلود با دانه­ های غبار مثبت فاصله­ی حفاظ یا ضخامت غلاف اساساً با دما و چگالی اکترون­ها تعیین می­ شود.
۲-۲-۳ فرکانس­های مشخصه۴
مانند پلاسمای یون- الکترون معمولی، یکی از خواص مهم پلاسمای غبارآلود ثبات خنثایی بار فضایی ماکروسکوپی سیستم است. زمانی که پلاسما به طور آنی از حالت تعادل مختل شده، اثر میدان بار فضای داخل حرکت­های جمعی ذرات را افزایش داده تا خنثایی بار حالت اولیه خود را حفظ کند. حرکت­های جمعی آن­ها با فرکانس طبیعی نوسان­ها مشخص شده که به فرکانس پلاسما () مشهور است. حال توصیف شده که چطور می­توان فرکانس پلاسما در پلاسمای غبارآلود غیرمغناطیسی سرد را تعریف کرد. نوسان­های الکترواستاتیکی یون­ها، الکترون­ها یا ذرات غبار به دلیل میدان بار فضای داخل سیستم می­باشد که با معادله­ پیوستگی قابل توصیف است.
(۲-۷)
معادله تکانه
(۲-۸)
و معادله پواسون
(۲-۹)
حال فرض می­کنیم که دامنه­ نوسان­ها خیلی کوچک و از عبارت­های شامل توان­های بالاتر دامنه صرف نظر شده (یعنی تئوری خطی صحیح است)و در تعادل همه ذرات پلاسما (الکترون­ها، یون­هاو ذرات غبار) در حال سکون هستند. بنابراین فرض می­کنیم ، به طوری که و معادلات (۲-۷) تا (۲-۹) را خطی کرده و پس از ترکیب آن­ها بدست می ­آید.

(۲-۱۰)
از معادله­ (۲-۱۰) در کل فضا دو بار تحت شرایط مناسب (یعنی r=0درتعادلφ=۰)انتگرال می­گیریم /tرا با d/dtتعویض کرده و دوباره معادله­ (۲-۱۰) را می­نویسیم.
(۲-۱۱)
(۲-۱۲)
^۲_ps=4n_s0q²_s/m_sفرکانس پلاسما مربوط به گونه­ s پلاسما را نشان می­دهد. معادله (۲-۱۱) نشان می­دهد که پتانسیل بار فضای داخل سیستم با فرکانس_p نوسان می­ کند که به صورت زیر تفسیر می­ شود. وقتی ذرات پلاسما ازمکان­های اولیه­شان جابه جا شوند، میدان­های الکتریکی در چنان جهتی بوجود می­آیند که با برگرداندن ذرات پلاسما به مکان اولیه­شان، خنثی بودن پلاسما را مجدداً اعاده کنند.ذراتع باردار در اثر لختی­شان از وضعیت اولیه آنطرف­تر رفته و با فرکانس مشخصه­ای (که به عنوان فرکانس پلاسما شناخته شده است) نوسان می­ کنند. فرکانس چنین نوسان­هایی برای الکترون­ها، یون­هاو دامنه­های غبار یکسان نخواهد بود، بلکه وابسته به جرم و بار ذرات پلاسما است.برای مثال الکترون­ها، حول یون­ها با فرکانس پلاسمای الکترون ^۲_pe=4n_e0e²/m_eنوسانمی­کنند.یون­ها حول دانه­ های غبار باردار با فرکانس پلاسمای یون^۲_pi=4n_i0e²/m_i، نوسان می­ کنند و ذرات غبار حول مکان­های تعادلشان با فرکانس پلاسمای غبار ^۲_PD=4n_d0Z²_de²/m_d،نوسان می­ کنند.
۲-۳ مدهای صوتی ۴
دو نوع از مدهای صوتی در پلاسمای غبارآلود مغناطیس نشده با جفت شدگی کولمبی ضعیف بین دانه­ های غبار باردار شده وجود دارد. این امواج عبارتند از موج صوتی ذرات غبار و موج یون- صوتی ذرات غبار. در ذیل، اصول فزیکی و نیز جزئیات ریاضی مدهای این امواج توصیف شده است.
۲-۳-۱ امواج خطی صوتی غبار^[۹]
امواج صوتی غبار از نظر تئوری به وسیله Raoدر سال(۱۹۹۰) در پلاسمای غبارآلود چند مولفه­ای فاقد برخورد محاسبه شده که الکترون­ها و یون­ها و دانه­ های غبار به صورت منفی باردار شده، اجزاء اصلی هستند. سرعت فاز موج DA خیلی کوچک­تر از سرعت­های حرارتی یون و الکترون است. از این رو الکترون­ها و یون­های فاقد لختی در امواج DA با پتانسیل، تعادل را برقرار می­سازد. در این جا گرادیان فشار با نیروی الکتریکی بالانس شده است، در نتیجه اختلال­های مرتبه­ی اول چگالی بولتزمن الکترون و یونn_j1، به ترتیب برابر است با:
(۲-۱۳)
(۲-۱۴)
لختی غبار برای امواج DA خیلی مهم است. بنابراین اختلال مرتبه­ی اول چگالی عددی غبار، از معادله­ پیوستگی غبار به دست می ­آید.
(۲-۱۵)
و معادله­ تکانه­ی غبار:
(۲-۱۶)
به طوری که n_d1و_d به ترتیب اختلال مرتبه­ی اول چگالی عددی غبار و سرعت سیال غبار است و نیز بنا به معادله­ پواسون
(۲-۱۷)
به طوری که برای راحتی بار غبار q_d0 ثابت فرض شده است. اکنون رابطه­ پاشندگی را برای امواج DA استنتاج می­کنیم. برای این منظور معادلات (۲-۱۵) و (۲-۱۶) را ترکیب می­کنیم و رابطه­ زیر حاصل می­ شود:
(۲-۱۸)
معادلات (۲-۱۳) و (۲-۱۴) را در معادله­ (۲-۱۷) جایگذاری می­کنیم در نتیجه داریم:
(۲-۱۹)
فرض می­کنیم و به قسمیکه و k به ترتیب فرکانس و بردار موج هستند.تبدیل فوریه معادلات (۲-۱۸) و (۲-۱۹) (یعنی نشاندن
=ik ,/t = -i) و از ترکیب آن دو رابطه­ پاشندگی برای امواج DA حاصل می­ شود.
(۲-۲۰)
که نتیجه می­ شود
(۲-۲۱)
به طوری که C_D=_PdD سرعت DA است. وقتی که>>_Tdاز معادله­ (۲-۲۱) فرکانس موج DA نتیجه می­ شود.
(۲-۲۲)
برای k²²_D<< 1داریم:
(۲-۲۳)
کهدانههایغباربهطورمنفیباردارشدهاند. فرکانسامواجDAخیلیکوچکترازفرکانسپلاسمایغبار
است. با بهره گرفتن از معادله (۲-۲۳) می­توان سرعت فاز موج DA(_P= / K) را با داشتن پارامترهای غبار و پلاسما برآورد کرد. امواج DA در چندین تجربیات آزمایشاهی مشاهده شده است.^[۱۰]
از این رو فرکانس­های موج DA مشاهده شده از مرتبه­یHz10-20 هستند، تصاویر ویدئویی از جبهه­های موج DA امکان­ پذیر هستند و آن­ها را با چشم عادی می­توان دید.
۲-۳-۲ امواج خطی یون صوتی غبار^[۱۱]
امواج یون صوتی غبار توسط Silin, Shukla (1992) پیش ­بینی شده بودند. سرعت فاز امواج DIA خیلی کوچک­تر (بزرگ­تر) از سرعت حرارتی الکترون (سرعت حرارتی غبار و یون) است در اینجا اختلال مرتبهی اول چگالی عددی الکترون مربوط به امواج DIA با معادله­ (۲-۱۳) داده شده، در حالیکه اختلال مرتبه­ی اول چگالی عددی یونn_i1 از معادله­ پیوستگی تعیین می­ شود.
(۲-۲۴)