اکنون برای تحلیل مدل های رشد پیشرفته تر از ، یعنی مدل های رشدی که سطوح آن وابسته اند، به تعمیم معادله مربوط به می پردازیم. ]۱۶[

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۲-۹-۲ معادله ادوارد-ویلکینسون^[۳۲]
برای به دست آوردن یک فصل مشترک با نماهای هندسی یکسان به بازسنجی و می پردازیم. اگر ارتفاع فصل مشترک خود متناسب باشد، آنگاه در راستای افقی و قائم با فاکتور بازسنجی کرده، در نتیجه و حاصل خواهد شد.
به عنوان مثال برای مشتقات مراتب پایین و بالا داریم:

(۲-۲۲)

(۲-۲۳)

هنگامی که به سمت بی نهایت میل می کند( )، جزء با سرعت بیشتری نسبت به به سمت صفر میل می کند، بنابراین جزء کم اهمیت تر و قابل چشم پوشی است .به همین ترتیب سایر مشتقات نیز از معادله رشد حذف می شوند و تنها مشتق مرتبه دوم در معادله باقی خواهد ماند .
جزء که ترکیبی از کاراکترهای تصادفی است در معادله باقی می ماند، به این ترتیب ساده ترین معادله رشدکه تغییرات یک فصل مشترک متعادل را نشان می دهد، به صورت زیر در خواهد آمد که به معادله ادوارد-ویلکینسون معروف است :

(۲-۲۴)

پارامتر نشان دهنده معادله است. مهمترین ویژگی این تئوری آن است که به صورت خطی ارائه می شود. در این معادله کشش سطحی نامیده می شود، زیرا جزء لاپلاسی تمایل به هموارسازی فصل مشترک دارد .

شکل ۲-۱۰ : تاثیر عامل بر روی سطح در حال رشدh
جمله در ناحیه مثبت دارای مینیمم موضعی و در ناحیه منفی دارای ماکزیمم موضعی است, همانطور که در شکل (۲-۱۰) دیده می شود. این حالت دلالت بر این دارد که دره ها می توانند ذرات بیشتری و قله ها می توانند ذرات کمتری را نسبت به شار متوسط میانگین بگیرند. به طور معادل می توان گفت، ذراتی که بر روی قله ها می نشینند تمایل دارند به سمت دره ها پایین بیایند و این صریحا اثر هموارسازی گرانش در مدل است که در معادله (۲-۲۴) آمده است . در صورتی که باشد، نرم سازی ناشی از گرانش اتفاق می افتد .اگر شار متوسط ذرات ورودی را در نظر بگیریم، ذراتی که در قله ها هستند در اثر گرانش به دره ها سرازیر می شوند و دره ها تعداد بیشتری از شار ورودی را دریافت می کنند .]۱۶-۲۱[
۲-۹-۲-۱ حل معادله ادوارد-ویلکینسون
برای حل این معادله دو روش وجود دارد، یکی حل دقیق و دیگری حل تقریبی. در اینجا به حل تقریبی معادله می پردازیم، به این منظور از تقریب مقیاس استفاده می کنیم .
چون ناهمواری فصل مشترک وابسته به زمان است، برای مقایسه دو فصل مشترک در دو لحظه متفاوت باید زمان را مورد بازسنجی قرار داد:

(۲-۲۵)

با جایگذاری معادله (۲-۲۵) و مقادیر x و h بازسنجی شده در معادله داریم:

(۲-۲۶)

با تقسیم دو طرف این رابطه بر خواهیم داشت:

(۲-۲۷)