(۲-۱-۳)
و معادلاتی که در (۲-۱-۱) نوشته شده از وردش لاگرانژی فوق نسبت به تانسور حاصل میگردد. در حوزه فیزیک نظری علاوه بر خصوصیات جالب توجه معادلات ماکسول، دو خصوصیت زیر نیز از ویژگیهای این معادلات بهشمار میروند:
محاسبهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای به مقدار نامتناهی منجر می شود.
در ابعاد بالاتر از ۴-بُعد، این معادلات قانون عکس مجذوری را برای میدان الکتریکی بار نقطهای رعایت نمیکنند.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
سوالی که ذهن خواننده را معطوف می کند ایناست که آیا میتوان نظریهای ارائه نمود که علاوه بر خصوصیات جالب و منطقی معادلات ماکسول، خود انرژی ذرات باردار نقطهای را متناهی ارائه کند و سوال دیگر ایناست که آیا در ابعاد بالاتر از ۴- بعد، میدان الکتریکی یک بار نقطهای عکس مجذوری است یا خیر؟ جستوجوی جواب برای این سوالات باعث شد تا فیزیکدانان بهدنبال نظریات انعطافپذیرتری باشند.
۲-۲ نظریه غیرخطی الکترودینامیک: نظریه بورن- اینفلد (BI)
بورن و اینفلد در سال ۱۹۳۴ با ارائه لاگرانژی نظریه الکترودینامیک غیرخطی را پایهریزی کردند ]۱۰[. در این نظریه، بورن و اینفلد یک لاگرانژی جدید بهجای لاگرانژی ماکسول معرفی کردند که مشکل نامتناهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای را حل میکرد. در حد میدانهای ضعیف، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول و یکسری تصحیحات کوچک کاهش مییابد. از طرفی در حد میدانهای قوی معادلات بورن- اینفلد به طور قابل ملاحظهای از معادلات میدان ماکسول فاصله میگیرد و خود انرژی ذرات باردار محدود و متناهی بهدست می آید.
لاگرانژی بورن- اینفلد تابعی از لاگرانژی ماکسول ( ) به صورت
(۲-۲-۱)
معرفی می شود که در آن موسوم به پارامتر بورن- اینفلد است.
در حد میدانهای ضعیف ، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول تبدیل می شود.
(۲-۲-۲)
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد به صورت زیر میباشد:
(۲-۲-۳)
که در این رابطه، دترمینان متریک میباشد.
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس به صورت زیر بهدست خواهند آمد.
(۲-۲-۴)
که با حل این معادله (۲-۲-۴) در یک فضازمان n+1 بُعدی مینکوفسکی به معادله دیفرانسیل
(۲-۲-۵)
میرسیم. در این معادله پریم مشتق مرتبهی اول نسبت به میباشد. با حل این معادله بر حسب داریم:
(۲-۲-۶)
که در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی میباشد.
همانطور که انتظار داریم، معادله (۲-۲-۶) در ۴- بُعد و حالت حدی به:
(۲-۲-۷)
که همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادله خطی ماکسول میباشد.
با توجه به معادله (۲-۲-۶) میدان الکتریکی بار نقطهای را در محاسبه میکنیم:
(۲-۲-۸)
رابطه (۲-۲-۸) نشان میدهد که بر خلاف میدان ناشی از معادلات ماکسول، در نظریه بورن- اینفلد تکینگی میدان الکتریکی بار نقطهای در مبدا برطرف شده است.
پس از آنکه هافمن نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن- اینفلد پیوند داد و جوابهای سیاهچالهای آن را بهدست آورد ]۱۲[، الکترودینامیک بورن- اینفلد در شاخه های مختلف گرانش و کیهانشناسی مورد توجه قرار گرفت که از جمله مقالات ارائه شده در این زمینه را میتوان در مراجع ]۱۸-۲۰[ دید.
۲-۳ نظریه الکترودینامیک غیرخطی: نظریه توانی ناوردای ماکسول (PMI)
با وجود اینکه با معرفی لاگرانژی بورن- اینفلد مشکل خود انرژی ذرات باردار نقطهای حل شد، اما خصوصیت دیگر نظریه بورن- اینفلد این است که مثل نظریه ماکسول، میدان الکتریکی آن در ابعاد بالاتر از ۴- بُعد وابسته به ابعاد فضازمان است. لازم به ذکر است، از آنجا که امکان دارد در ابعاد بالاتر از ۴، میدان الکتریکی هنوز عکس مجذوری باشد (صحت یا سقم این موضوع اثبات نشده است)، به دنبال نظریه های انعطافپذیرتری هستیم که این قابلیتها را داشته باشد.
یکی دیگر از نظریات قابل توجه در در حوزه الکترودینامیک غیرخطی، نظریه توانی ناوردای ماکسول ( ) میباشد که در بسیاری از مقالات حوزه گرانش به آن اشاره شده است [۱۳و۱۴]. این نظریه با لاگرانژی زیر معرفی می شود:
(۲-۳-۱)
که در این رابطه ثابتی است که قابل تعیین است و پارامتر موسوم به پارامتر غیرخطی نظریه است. نظریه توانی ناوردای ماکسول، نظریه ماکسول را طوری تغییر میدهد که همیشه میدان الکترومغناطیس ذرات باردار نقطهای، صرف‌نظر از ابعاد فضازمان می تواند متناسب با عکس مجذور فاصله باشد.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به صورت زیر معرفی می شود [۱۳و۱۴]:
(۲-۳-۲)
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس بهدست خواهند آمد. معادلات میدان الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن متریک مینکوفسکی در n+1 بُعد به صورت زیر ساده می شود:
(۲-۳-۳)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(۲-۳-۴)
در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی است. بهراحتی میتوان نشان داد که با تنظیم پارامتر به صورت ، در هر بُعد دلخواه، میدان همواره عکس مجذوری بهدست می آید. از معادله (۲-۳-۴) واضح است که همانند نظریه ماکسول در حد میدان الکتریکی ذرات نقطهای نامتناهی می شود ولی همانند لاگرانژی ماکسول برای ذرات باردار شبهنقطهای خصوصیت بینهایت شدن میدان الکتریکی در را دارا میباشد.
میدان غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به ازای های مختلف همراه با میدان الکتریکی ماکسول در نمودار (۲-۱) نشان داده شده است که:
شکل ۲-۱: نمودار میدان الکتریکی برای (نقطهچین)، (خط پیوسته و منطبق بر نمودار ماکسول) و (خط چین)
که بیانگر این واقعیت است که میدان الکتریکی ناوردای ماکسول همانند میدان ماکسول در تکین میباشد. همچنین نمودار (۲-۱) نشان میدهد که بهازای مقادیر مختلف پارامتر غیرخطی ، سرعت واگرایی در های کوچک و رفتار میدان در فواصل بزرگ متفاوت است.
۲-۴ نظریه غیرخطی الکترودینامیک: نظریه لگاریتمی([۱۲]LNEF)
پس از معرفی الکترودینامیکهای غیرخطی و اینکه این دو نظریه، یعنی نظریه غیرخطی بورن- اینفلد و نظریه توانی ناوردای ماکسول، هرکدام یکی از خصوصیات معادلات ماکسول را مدنظر قرار داده بودند و قادر به رفع هردو خصوصیت به صورت هم‌زمان نبودند، فیزیکدانان دنبال لاگرانژی بودند که خصوصیات ترکیبی این دو نظر را به صورت هم‌زمان داشته باشد. هرچند چنین نظریهای هنوز ارائه نشده ولی در این مسیر نظریات جالب توجهی که از آن جمله میتوان به نظریه لگاریتمی و نظریه نمایی الکترودینامیک غیرخطی اشاره نمود.
الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی نخستین بار توسط سولنج مطرح شد ]۲۱[. لاگرانژی این نظریه تابعی از لاگرانژی ماکسول و به صورت زیر معرفی می شود:
(۲-۴-۱)
که در این معادله پارامتر غیرخطی میباشد.
