اگر فرض کنیم حل درست در وجو د دارد تقریب نیوتن رافسون برای ترم برداری نیروی باقی مانده یعنی همان مطابق با میباشد یعنی
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
۴-۵۳
در معادله ۴-۵۳ N برابر تعداد کل متغیرهای موجود در سیستم و r شماره تقریب سعی مورد نظر میباشد.. نیروهای باقیمانده را با کمک رابطه ۴-۵۱ میتوان به فرم ماتریسی مطابق معادله ۴-۵۴ نوشت.
۴-۵۴
در جایی که آرایههای ماتریس H میباشند. ترم دوم معادله تاثیر آرایههای غیر متقارن در مقدار ژاکوبین را میدهد. اگر این ترم ناچیز را حذف کنیم با جایگذاری معادله۴-۵۳ در۴-۵۴ نتیجه میگیریم.
۴-۵۵ جایی که
۴-۵۶ با جایگذاری معادله ۴-۵۶ در ۴-۵۵ نیز نتیجه میگیریم
۴-۵۷
این معادله با معادله۴-۵۰ در بخش قبل که توسط روش تکرار مسقیم انجام یافت، یکسان است. چونکه در رابطه ۴-۵۷ تمامی متغیرها تابعی از میباشد در نتیجه جمعآوری داده ها میتوانیم آنرا به فرم معادله بنویسیم.
۴-۵۸
روش نیوتن رافسون نهایتا به فرم معادله نوشته می شود.
۴-۵۹
۴-۵-۲- روش ماتریس مماسی:
برای کاربردهای های سازهای ماتریس به طور فیزیکی می تواند به عنوان ماتریس سختی تفسیر شود. برایشرایط غیرخطی که در آن ماتریس سختی بستگی به درجه تغییر مکان در یکسری وضعیتهای خاص دارد، مساوی با شیب موضعی رابطه تغییر مکان – نیرو سازه در هر نقطه است وماتریس مماسی نامیده می شود. این چنین آنالیزهایی باید در یک روند افزایشی صورت گیرد، چونکه حل در هر مرحله نه تنها به تغییر مکانهای فعلی بلکه به تغییر مکانهای مراحل قبلی نیز بستگی داردو در نهایت مسئله می تواند روی هر بازهی کوچک باز خطی شده و ماتریس متناظر با آن نیز بدست می آید. با این اصلاحات روند حل با روش نیوتن رافسون[۴۹]یکسان میگردد به همیندلیل این روش را نیوتن رافسون تعمیم یافته[۵۰]مینامند.
روند حل در شکل ۴-۱۰ شرح داده شده است.حل از یک نقطه آزمایشی از مجهولات آغاز میگردد. ماتریس مماسی، ، مطابق با این تغییر مکان و نیروی باقیمانده نیز محاسبه میگردند. در نهایت متناظر با مقدار آزمایشی محاسبه میگردد.
۴-۶۰
حال یک جواب تقریبی از مجهولات مطابق رابطه بدست می آید.
۴-۶۱
روند حل را آنقدر ادامه میدهیم تا مقدار بسیار ناجیز شود در اینصورت جواب همگرا میباشد.
شکل۴-۱۳-روش سختی مماسی یک مساله یک متغیره ]۲۳[
در این پایان نامه ما از روش نیوتن رافسون برای حل معادلات استفاده میکنیم در نتیجه برای درک بهتر این روش سعی خواهیم چند مثال را تشریح کنیم. به طور مثال فرض کنید جواب تقریبی دستگاه معادلات غیر خطی زیر را با شرط توقفهای و اتنخاب نمایید و فرض کنید نقطه شروع میباشد.
۴-۶۲ ابتدا ژاکوبین را محاسبه میکنیم.
۴-۶۳ ۴-۶۴ ۴-۶۵
۴-۶۶
۴-۶۷
نقاط شروع را فرض میکنیم و تعداد سعیها را ۳ در نظر میگیریم.
فصل ۵
روش اجزای محدود در محیط الاستو پلاستیک دو بعدی
۵-۱- مقدمه:
یکی از اهداف این پژوهش مدل کردن سنگ در محیط الاستو پلاستیک با کمک روش اجزای محدود است. در فصل قبل روش اجزای محدود در محیط الاستیک به طور کامل شرح داده شد. در این فصل روش اجزای محدود در فضای پلاستیک را شرح میدهیم تا بتوانیم از طریق آن رفتار سنگ را مدل کنیم.
در بسیاری از مسائل رفتار ماده مورد نظر الاستو پلاستیک میباشد. یعنی از یک حد تنش به بالا پاسخ جسم مورد نظر به بارگذاری از حالت الاستیک خارج شده و وارد محدوده پلاستیک می شود. برای این که بتوانیم این تئوری را به صورت فرمول در بیاوریم ۳ خواسته مهم زیر، مورد نیاز است]۲۸[:
۱-یک رابطه واضح بین تنش و کرنش در زمانی که جسم رفتار الاستیک دارد. یعنی قبل از اینکه تغییر شکل های پلاستیک آغاز گردد.
۲-معیار تسلیمی که بتوان از طریق آن سطح تنشی را که از آن به بعد کرنشهای پلاستیک آغاز میگردد را نشان داد.
۳-رابطه بین تنش و کرنش پس از تسلیم
۵-۲- معیار تسلیم:
ما در بحث الاستیک با معیار گسیختگی سروکار داشتیم که در آن با تعیین تنشهای ماکزیمم و مینیمم، امکان پیش بینی گسیختگی محیط سنگی فراهم میشد. اما در محیط پلاستیک هدف متفاوت است و نیاز به معیار تسلیم داریم.
معیار تسلیم سطح تنشی را نشان میدهد که پس از آن تغییر شکلهای پلاستیک آغاز میگردد ومیتواند به صورت زیر نوشته شود
۵-۱
در جایی که تابع و پارامتر ماده است که به صورت تجربی تعیین می شود. خود ممکن است تابعی از یا همان پارامتر سختی باشد. از آنجایی که تابع تسلیم باید مستقل از جهت محورهای مختصات باشد بنابراین معیار تسلیم را باید به صورت تابعی از سه متغیر تنش به صورت زیر نوشت.
۵-۲
لازم به ذکر است که اعداد ۱،۲و۳ به ترتیب نشاندهنده محورهای x،y وz میباشد. یعنی و وهمینطور برای بقیه تنشها به همین صورت عمل میکنیم.حال با دانستن این مطلب مقادیر این متغیرهای تنش را ابتدا بر حسب تنشهای محوری و سپس بر حسب تنشهای اصلی بدست میآوریم.
۵-۳
با نگاه به بسیاری از معیارها در مییابیم که این معیارها خود به صورت توابعی از ، و میباشند.به طور مثال معیار دراکر پراگر به صورت و معیار ونمیز به صورت میباشد. اما همانطور که میدانیم بیشتر معیارهای موجود بر اساس تنشهای اصلی( و )و یا تنشهای محوری ( ، و )میباشند، بنابراین نیاز به روابطی که بتوان از آن طریق معیار تسلیم را بر حسب ، و بنویسیم، احساس میگردد]۲۰[.
ابتدا برای راحتی بیشتر روابط زیر را مینویسیم
۵-۴
برای بدست آوردن رابطه ، و و تنشها، نیاز به حل معادله ۵-۶ که معروف به معادله نایاک[۵۱] میباشد]۲۹[.
۵-۵
ریشه های این معادله درجه سوم عبارتند از
۵-۶
با داشتن معادله ۵-۷ میتوانیم هر معیاری را به صورتی از متغیرهای تنش و بنویسیم در جایی که به صورت زیر تعریف میگردد.