۴) یک قرارداد اختیار فروش شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶].
۱-۹ معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی^[۲۴]
۱-۹-۱ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جرئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل، یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی نامیده می شود.[۳۳]
۱-۹-۲ تعریف: معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی می گویند اگر متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها در معادله ی دیفرانسیل به صورت خطی ظاهر شوند.معادله ی دیفرانسیل را که خطی نباشد، غیر خطی می گویند. [۳۳]
مرتبه ی یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی برابر با بالاترین مرتبه ی مشتقی است، که در معادله ظاهر می شود.
صورت کلی یک معادله ی دیفرانسیل خطی مرتبه ی دوم برای دو متغیر مستقل عبارت است از :

معادله ی بالا را یک معادله ی سهموی می گویند، هرگاه
[۳۳] . ۱-۹-۳ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل و یک بخش انتگرالی را ، یک معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی می نامند یا به طور معادل:
[۳۲].
فصل دوم
فرایندهای لوی
ابداع نظریه ی فرایندهای تصادفی، یکی از مهمترین پیشرفت های علمی است.از دیدگاه شهودی، هدف این نظریه الگوسازی ((شانس)) به کمک ((زمان)) است.فرایندهای تصادفی، نه تنها موجودات ریاضی غنی هستند، بلکه کاربردهای وسیعی در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی و اقتصاد نیز دارند . این بخش، مقدمه ای است برای آشنایی با رده ای از فرایندهای تصادفی که به افتخار احتمال دان بزرگ فرانسوی پل لوی^[۲۵]، که اولین بار آن ها را در دهه ی ۱۹۳۰ مطالعه و بررسی کرد، فرایندهای لوی نام گرفته اند. ساختار اساسی این فرایند در((دوران طلائی)) نظریه ی احتمال در دهه ی ۱۹۴۰-۱۹۳۰ توسط لوی، ریاضیدان روسی خینچین^[۲۶] و ایتو^[۲۷] در ژاپن، شناسایی گردید. در سال های اخیر، به دلیل پیشرفت های نظری و هم چنین گستره ی وسیعی از کاربردهای جدید به ویژه در ارزیابی قراردادهای اختیار معامله در مدیریت مالی، علاقه به این فرایند افزایش یافته است و از سال ۱۹۹۸ گردهمائی های تخصصی ویژه ی این فرایند برگزار شده است [۱و۲۴] .
۲-۱ ساختار فرایندهای لوی
۲-۱-۱ تعریف: فرایند تصادفی را یک فرایند لوی روی گویند، هرگاه :

1. 1. با احتمال یک .

1. 1. دارای نموها مستقل و مانا باشد، یا به طور معادل: برای هر و هر

و برای هر دنباله ی متناهی مرتب از زمان ها ، متغیرهای تصادفی

مستقل باشند.

1. 1. به طور تصادفی پیوسته باشد، به عبارت دیگر برای هر و هر :

۴) مسیرهای نمونه ای آن، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.(کادلاگ^[۲۸])[۲۴و۸]
در واقع تا سال های متمادی نام این فرایند، فرایند دارای نموهای مستقل مانا بود. [۱]
۲-۱-۲ قضیه: اگر یک فرایند لوی باشد. آن گاه برای هر ، یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر دارد. برعکس، اگر یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر باشد، آن گاه یک فرایند لوی وجود دارد،
به طوری که دارای توزیع است.
اثبات:]۸[ .
۲-۱-۳ مثال: اگر یک حرکت براونی باشد. بنابر مثال ۱-۶-۱۰ و قضیه ی ۲-۱-۲ یک فرایند لوی است.
۲-۱-۴ مثال: اگر یک فرایند پواسون باشد، آن گاه بنابر مثال ۱-۶-۱۱ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می شود که ، فرایند لوی است.
۵-۱-۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به مثال ۱-۶-۱۲ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می گیریم که یک فرایند لوی است.
۲-۱-۶ قضیه(تابع مشخصه ی فرایند لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد، آن گاه تابع پیوسته ی وجود دارد، به طوری که
تابع را نمای مشخصه یا نمای لوی ، فرایند می نامند[۲۶] .
در این قسمت قصد داریم با بهره گرفتن از مفهوم اندازه ی تصادفی که در بخش ۱-۷ معرفی شد رفتار پرش های فرایند پواسون ترکیبی را بررسی کنیم.
برای هر فرایند کادلاگ، یا به طور خاص برای هر فرایند پواسون ترکیبی مانند روی می توان یک اندازه تصادفی را روی به عنوان توصیف پرش های مرتبط کرد(بخش ۲٫۶ [۲۴])، یعنی این که برای هر مجموعه اندازه پذیر ،
و برای هر مجموعه ی ، تعداد زمان های پرش بین و را شمارش می کند، به طوری که اندازه های پرش آن در هستند.[۲۴]
متناظر با هر نمای مشخصه، یک فرایند لوی وجود دارد که مسیرهای آن با احتمال یک از راست پیوسته و از چپ دارای حد هستند(کادلاگ)، به این دلیل، فرایند تنها می تواند ناپیوستگی های پرشی داشته باشد، و در هر بازه ی زمانی بسته، فقط تعداد شمارش پذیر از این ناپیوستگی ها وجود دارد.
۲-۱-۷ تعریف(اندازه لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد. اندازه ی لوی روی برای هر مجموعه بورل از به صورت زیر تعریف می شود:
در واقع برای هر واحد زمانی، تعداد پرش های مورد انتظاری است که اندازه ی آن ها متعلق به Aاست و اندازه ی پرش در لحظه ی و حد چپ است [۲۴].
۲-۱-۸ قضیه: اگر یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش باشد. آن گاه اندازه ی پرش آن، ، یک اندازه تصادفی پواسون روی است، با اندازه ی نرخ
و هر فرایند پواسون ترکیبی را می توان به صورت زیر نوشت:
اثبات: (قضیه ی ۳٫۵ [۲۴]) .
۲-۱-۹ قضیه (تجزیه ی لوی – ایتو^[۲۹]): گیریم یک فرایند لوی روی و همچنین یک اندازه ی لوی باشند، آن گاه

• • یک اندازه ی رادون روی است، که در شرایط زیر صدق می کند:

• اندازه پرش ، که با نشان داده می شود، یک اندازه ی تصادفی پواسون روی است(با اندازه نرخ ).