در این تئوری فرض قابل صرف نظر کردن از کرنش های برشی جانبی و اینرسی دورانی دیگر معتبر نمی ­باشد و این تفاوت اصلی تئوری تیر تیموشینکو با تئوری تیر اویلر-برنولی می­باشد . در واقع در تئوری تیر تیموشینکو،شکل (۳-۲) تحلیل ها و نتایج از دقت بیشتری برخوردار می باشند.

شکل۳-۲: مدل تیر­ تیموشینکو
با در نظر گرفتن تئوری حاضر مولفه ی کرنش نرمال و کرنش برشی وجود دارد و مولفه کرنش نرمال صفر می باشد. همچنین مؤلفه های جابجایی u بصورت توابعی خطی نسبت به z فرض گردیده و مولفه w مستقل از z در نظر گرفته می شود . میدان جابه جایی بصورت زیر نوشته می شود :
(۳-۲)

در رابطه فوق زاویه دوران حول محور y می­باشد.
حال تأثیر نانو را با بهره گرفتن از قانون اختلاط در معادلات اعمال می کنیم.
۳-۳- قانون اختلاط
فرض می­کنیم تیر کامپوزیتی که با نانولوله کربنی به صورت یکنواخت در راستای مختصات x تقویت شده است، از یک مخلوط نانولوله کربنی تک جداره و زمینه­ای که ارتوتروپیک فرض می­ شود، ساخته شده است. مسئله اصلی تعیین خواص مادی مؤثر مربوط به تابعی مدرج تقویت شده بانانولوله کربنی می­باشد.بر حسب یک مدل میکرو مکانیکی، می­توان خواص مادی مؤثر را با بهره گرفتن از مدل موری- تاناکا یا قانون مخلوط­ها تخمین زد. مدل موری – تاناکا قابل کاربرد به ذرات نانو می‌باشد و قانون اختلاط برای پیش ­بینی تمامی خواص مادی سازه،ساده و مناسب می­باشد. بر طبق قانون اختلاط ، مدول­های یانگ و مدول‌های برشی را می­توان به صورت زیر بیان کرد [۱۲] :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳-۳)

که ، و به ترتیب مدول­های یانگ و برشی نانولوله کربنی می­باشد، و خواص متناظر مربوط به زمینه می‌باشند.
پارامتر کارایی نانولوله کربنی می‌باشد که با تطابق مدول­های الاستیسیته بدست آمده از نتایج شبیه سازی دینامیک مولکولی و قانون مخلوط‌ها، تعیین می‌شود.
، کسرهای حجمی نانولوله کربنی و زمینه می­باشند که با رابطه زیر به یکدیگر مرتبط
می‌شوند:
(۳-۴)
کسر حجمی را بصورت زیر فرض می­کنیم:
(۳-۵ )
که
(۳-۶)

که کسر جرمی نانولوله می باشد. برای حالت توزیع یکنواخت نانولوله ها می باشد.
نسبت پواسون را می­توان به این صورت محاسبه کرد :
(۳-۷)

۳-۴ کرنش­های نرمال و برشی
روابط کرنش گرین-لاگرانژ بصورت زیر می باشد :
(۳-۸)

با بهره گرفتن از روابط کرنش- جا به ­جایی فوق و فرضیات ون-کارمن برای تیر ، کرنش­های نرمال و برشی به فاصله z از صفحه میانی تیر به صورت زیر می باشند.
(۳-۹)

کرنش های فوق را بصورت زیر می توان دسته بندی کرد :
(۳-۱۰)

در روابط فوق معرف کرنش نرمال و نشان دهنده انحنا می­باشند.
۳-۵ – معادلات تعادل تیر اویلر-برنولی
۳-۵-۱- مقدمه
در رفتار خطی یک ماده، تغییر شکل متناسب با میزان بارگذاری می باشد. بنابراین با توجه به اینکه درمرحله کمانش رفتار سازه به گونه ­ای است که با افزایش بار به میزان کمی، تغییر مکان در سازه به میزان زیادی افزایش می­یابد، این پدیده قبل از آنکه در مکانیک خطی جایی داشته باشد، در مکانیک غیر خطی اهمیت بسیاری پیدا می­ کند. با این مقدمه به راحتی می­توان در بخش بعدی فلسفه کرنش­های غیر خطی در اجسام قابل تغییر شکل، مانند تیر را بیان نمود.
با بهره گرفتن از رابطه میدان جا به ­جایی تیر اویلر-برنولی روابط غیر خطی کرنش، انحنا و پیچش صفحه میانی بر حسب مؤلفه­ های تغییر مکان برای تیر کامپوزیتی اویلر-برنولی به صورت زیر می باشد.
­­­­­­­­­­
(۳-۱۱)

رابطه تنش – کرنش در حالت تنش صفحه­ای برای مواد ارتوترپیک به صورت زیرمی باشد:
(۳-۱۲)

که تنش ها بصورت زیر تعریف می شوند.
(۳-۱۳)